Esferas y cubo. Volúmen y área de esfera y cubo.

ESFERAS Y CUBO. Un niño construyó un cubo macizo de plastilina, de 6 cm de arista. Luego lo deformó y construyó, con toda la plastilina que componía el cubo, tres bolas esféricas macizas iguales. 

a) ¿Cuál es el radio, en mm, de cada una de las bolas?

b) ¿Cuál es la superficie, en dm², de cada una de las bolas?

    Representa gráficamente tanto el cubo como las bolas.

Representamos, en primer lugar, y mediante el programa Cabri 3D, el cubo de arista 6 cm que construyó el niño.

Para averiguar la cantidad de plastilina que utilizó el niño para realizar este cubo macizo debemos hallar el volumen del mismo, como conocemos la arista a=6cm, sólo tenemos que emplear la fórmula del volumen del hexaedro regular o cubo.

Esta cantidad de plastilina la dividió en 3 bolas esféricas macizas iguales, por lo que el volumen de cada una de las esferas es de 216:3 = 72cm³

Conociendo el dato del volumen de las esferas macizas es muy fácil obtener el radio, en mm, de cada una de las bolas, que es lo que nos pide el ejercicio en su punto a). Podemos despejar el radio ( r ) de la fórmula del volumen de la esfera, de esta forma:

Como el radio nos lo pide en mm, basta con multiplicar por 10 el resultado obtenido en cm.

r = 2,5808cm x 10 = 25,808 mm

También podríamos haber hallado directamente el radio en mm si hubiéramos pasado el volumen de cm cúbicos a mm cúbicos. ¿Lo hacemos? ¡Adelante! Los cm³ se pasan a mm³ multiplicando por 1000, por lo que 72cm³=72000mm³

 

Una vez que conocemos el radio, r = 2,58 cm, podemos dibujar las 3 esferas con el Cabri 3D, quedando de esta forma:

Para terminar la actividad, y el plan completo por fin, nos piden que hallemos la superficie, en dm², de cada una de las bolas. Como son iguales, la superficie será la misma para cada una de ellas.

Como conocemos el radio r = 2,58 cm, podemos usar directamente la fórmula del área de la superficie esférica:

Como el ejercicio nos pide el área expresada en dm², tenemos que dividir la cantidad obtenida entre 100, así:

83,64cm² : 100 = 0,8364 dm²

También, podríamos haber hallado directamente el área en dm. cuadrados si hubiéramos expresado el radio en decímetros (2,58 cm = 0,258 dm) para hallar el área de la esfera, de este modo: