Actividad Geometría "Área de las cabras que pastan dentro del redil"

Dentro de un recinto vallado que tiene forma de cuadrado de 60 m de lado, hay 4 cabras, cada una está atada a un vértice del cuadrado mediante una cuerda de 30 m de longitud. El propietario, tras vender 3 de las cabras, alargó la cuerda de la cabra que le quedaba atada a un vértice, de forma que la superficie sobre la que podía pastar era equivalente a la superficie sobre la que podían pastar anteriormente las 4 juntas. ¿Qué longitud le dio a la cuerda?

Matesyconta resuelve este ejercicio en el siguiente vídeo:

 Solución:
Se nos presenta un problema de Geometría en el que debemos encontrar el área de varios sectores circulares así como el radio de uno de ellos. Para ello, comenzamos dibujando la situación que se nos plantea:

En la figura de la izquierda se muestra la situación de partida (4 cabras), mientras que en la de la derecha se muestra la forma que tendrá la superficie a la que debe poder acceder una sola cabra (la atada en D) cuando las otras 3 ya no estén presentes. Dado que no hemos calculado aún la medida del radio, R, la representación de la derecha no es, por ahora, exacta, sino que sólo nos sirve de orientación, es decir, nos permite saber que la superficie buscada es un sector circular de radio R≤60 (m) y de 90º de amplitud.

- Calculemos ahora el área total en la situación inicial (4 cabras):

La superficie a la que puede acceder una cualquiera de las cabras es un sector circular de 30 m de radio y de 90º de amplitud. Por lo tanto, el área total será la de un círculo de 30 m de radio, es decir,  

- En la situación final, la superficie a la que puede acceder la única cabra que queda es un sector circular de R (m) de radio y de 90 de amplitud. Por tanto, el área total será: 

Como ambas áreas deben ser iguales, haremos: 

De donde despejando R obtenemos y ya tenemos resuelto el ejercicio.

Observad como la medida del radio de la cuerda debe coincidir con la del lado del cuadrado.

¡Y ya está resuelto el problema! Espero que os haya servido de ayuda... y si tenéis cualquier duda podéis dejar vuestros comentarios y os atenderemos gustosamente...  ¡Hasta la próxima!... ;-)

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