Enésima configuración de triángulos de cerillas-fósforos

a) La configuración 1 está formada por 3 cerillas, la 2 lo está por 9 cerillas, etc. Mediante una búsqueda inductiva, determina cuál es el número de cerillas que tendrá la configuración número 12, si se mantiene el mismo criterio de construcción. 

 b) ¿Por cuántas cerillas estará constituida la enésima configuración?

SOLUCIÓN:

a) Tenemos varias configuraciones formadas por triángulos equiláteros cuyos lados son fósforos. Observamos que conforme aumenta el número de lados de los triángulos el número de fósforos que componen la figura crece. Realicemos una tabla de los 4 primeros casos para intentar encontrar alguna “regularidad”.

Lados	Nº triángulos	Fósforos por triángulo	Fósforos total configuración
1	1	X3	3
2	3	X3	9
3	6	X3	18
4	10	X3	30

Observamos cómo cada configuración nos da una cantidad distinta de triángulos, para obtener los fósforos totales basta con multiplicar por 3 (fósforos que tiene cada triángulo) por el número de triángulos que obtenemos.

Sin necesidad de dibujar el resto de configuraciones hasta la número 12, podemos completar la tabla hasta la doceava configuración si seguimos los criterios de construcción que se pueden observar en la tabla anterior. Un criterio puede ser que si sumamos al número de triángulos de la configuración n=1 el valor del siguiente n, es decir 2, obtenemos el número de triángulos para la configuración 2, que es 3, si al número de triángulos que tiene la configuración n=2, que son 3 triángulos, sumamos el valor de la siguiente configuración que es n=3, nos da 6, que es el número de triángulos de la configuración n=3, y así sucesivamente hasta llegar a n=12. 

Completemos la tabla hasta obtener el número de fósforos para la configuración de 12 lados, bastará con multiplicar por 3 el número de triángulos que tenga esa configuración. 

Lados	Nº triángulos	Fósforos por triángulo	Fósforos total configuración
1	1	X3	3
2	3	X3	9
3	6	X3	18
4	10	X3	30
5	15	X3	45
6	21	X3	63
7	28	X3	84
8	36	X3	108
9	45	X3	135
10	55	X3	165
11	66	X3	198
12	78	X3	234

Por lo tanto, el número de fósforos que tendrá la configuración nº 12 es de 234.

b) ¿Por cuántas cerillas estará constituida la enésima configuración?

Para hallar esta regularidad nos hemos tenido que dar cuenta antes de que el número de triángulos va creciendo conforme a la suma de las configuraciones n, es decir, estamos ante la suma de los “n” primeros números naturales, y esto nos facilita mucho las cosas...

Si deseamos obtener la suma de los n primeros números naturales tenemos que sumar término a término la expresión de dicha suma pero escrita en el orden opuesto, así:

S(n)=1+2+3+… +(n-2)+(n-1)+n

S(n)=n+(n-1)+(n-2)+… +3+2+1

2S(n)=n+1+(n-1)+2+(n-2)+3+… +3+(n-2)+2+(n-1)+1+n

2S(n)=(n+1)+(n+1)+(n+1)+… +(n+1)+(n+1)+(n+1)

Dado que, lógicamente, el sumando (n+1) se repite n veces, tenemos que:

2S(n)=n(n+1)

Despejando S(n) nos da:

Que es la expresión que nos indica la suma de los n primeros números naturales.

En nuestro ejercicio, dicha suma coincide con el número de triángulos de cada configuración; como cada triángulo tiene 3 fósforos (no olvidemos que nos piden el número de cerillas para la enésima configuración), bastará con multiplicar dicha expresión por 3, de este modo:

Comprobamos que para n=12 lados obtenemos el mismo resultado que mediante la anterior tabla de la búsqueda inductiva del punto a):