a) La configuración 1 está formada por 3 cerillas, la 2 lo está por
9 cerillas, etc. Mediante una búsqueda inductiva, determina cuál es el número
de cerillas que tendrá la configuración número 12, si se mantiene el mismo
criterio de construcción.
b) ¿Por cuántas cerillas estará constituida la enésima
configuración?
SOLUCIÓN:
a) Tenemos varias configuraciones formadas
por triángulos equiláteros cuyos lados son fósforos. Observamos que conforme
aumenta el número de lados de los triángulos el número de fósforos que componen
la figura crece. Realicemos una tabla de los 4 primeros casos para intentar
encontrar alguna “regularidad”.
Lados
|
Nº triángulos
|
Fósforos por triángulo
|
Fósforos total configuración
|
1
|
1
|
X3
|
3
|
2
|
3
|
X3
|
9
|
3
|
6
|
X3
|
18
|
4
|
10
|
X3
|
30
|
Observamos cómo cada configuración nos da
una cantidad distinta de triángulos, para obtener los fósforos totales basta
con multiplicar por 3 (fósforos que tiene cada triángulo) por el número de
triángulos que obtenemos.
Sin necesidad de dibujar el resto de
configuraciones hasta la número 12, podemos completar la tabla hasta la doceava
configuración si seguimos los criterios de construcción que se pueden observar
en la tabla anterior. Un criterio puede ser que si sumamos al número de
triángulos de la configuración n=1 el valor del siguiente n, es decir 2,
obtenemos el número de triángulos para la configuración 2, que es 3, si al
número de triángulos que tiene la configuración n=2, que son 3 triángulos,
sumamos el valor de la siguiente configuración que es n=3, nos da 6, que es el
número de triángulos de la configuración n=3, y así sucesivamente hasta llegar
a n=12.
Completemos la tabla hasta obtener el
número de fósforos para la configuración de 12 lados, bastará con multiplicar
por 3 el número de triángulos que tenga esa configuración.
Lados
|
Nº triángulos
|
Fósforos por triángulo
|
Fósforos total configuración
|
1
|
1
|
X3
|
3
|
2
|
3
|
X3
|
9
|
3
|
6
|
X3
|
18
|
4
|
10
|
X3
|
30
|
5
|
15
|
X3
|
45
|
6
|
21
|
X3
|
63
|
7
|
28
|
X3
|
84
|
8
|
36
|
X3
|
108
|
9
|
45
|
X3
|
135
|
10
|
55
|
X3
|
165
|
11
|
66
|
X3
|
198
|
12
|
78
|
X3
|
234
|
Por lo tanto, el número de fósforos que tendrá la
configuración nº 12 es de 234.
b) ¿Por cuántas cerillas estará constituida la enésima
configuración?
Para hallar esta regularidad nos
hemos tenido que dar cuenta antes de que el número de triángulos va creciendo
conforme a la suma de las configuraciones n, es decir, estamos ante la suma de
los “n” primeros números naturales, y esto nos facilita mucho las cosas...
Si deseamos obtener la suma
de los n primeros números naturales tenemos que sumar término a término la expresión
de dicha suma pero escrita en el orden opuesto, así:
S(n)=1+2+3+… +(n-2)+(n-1)+n
S(n)=n+(n-1)+(n-2)+… +3+2+1
2S(n)=n+1+(n-1)+2+(n-2)+3+…
+3+(n-2)+2+(n-1)+1+n
2S(n)=(n+1)+(n+1)+(n+1)+…
+(n+1)+(n+1)+(n+1)
Dado que, lógicamente, el sumando (n+1)
se repite n veces, tenemos que:
2S(n)=n(n+1)
Despejando S(n) nos da:
Que es la expresión que nos indica la
suma de los n primeros números naturales.
En nuestro ejercicio, dicha suma coincide
con el número de triángulos de cada configuración; como cada triángulo tiene 3
fósforos (no olvidemos que nos piden el número de cerillas para la enésima
configuración), bastará con multiplicar dicha expresión por 3, de este modo:
Comprobamos que para n=12
lados obtenemos el mismo resultado que mediante la anterior tabla de la
búsqueda inductiva del punto a):