ÁREA Y PERÍMETRO DE POLÍGONOS EN EL PPTC
En relación con el polígono de abajo (pato),
que se ha trazado en el PPTC (papel punteado de trama cuadrada):
a)
Determina
su área mediante el método de adición (división del polígono dado en figuras
elementales convenientemente construidas y determinación de la suma de las
áreas de cada una de ellas).
b)
Calcula
su área mediante el método de complementación (inclusión del polígono en un
rectángulo o cuadrado, que tenga la menor área posible, y la posterior
sustracción al área de dicho rectángulo o cuadrado del área de la “figura
complementaria”, es decir, la figura exterior al polígono dado, pero interior
al rectángulo. Nótese que para la obtención del área de dicha “figura
complementaria” hay que subdividirla previamente, de forma conveniente, en
figuras elementales.
c)
Comprueba
el área obtenida en los apartados anteriores mediante la Fórmula de Pick.
d)
Halla
tanto el valor exacto de su perímetro (suma simplificada de números reales),
como su valor aproximado (expresión decimal con aproximación hasta las
milésimas).
Matesyconta resuelve este ejercicio en el siguiente vídeo de youtube:
a)
Determina
su área mediante el método de adición (división del polígono dado en figuras
elementales convenientemente construidas y determinación de la suma de las
áreas de cada una de ellas).
El
método de adición consiste en descomponer la figura en otras cuyas áreas
podemos obtener de forma sencilla (a veces, mediante un simple recuento de
cuadrados unitarios), para realizar la posterior suma de sus áreas y así
obtener el área total de la figura.
Mostramos
la descomposición que hemos hecho utilizando un geoplano.
- 16
cuadrados de color amarillo de 1 uc cada uno: A(amarillos)= 1 uc x 16 =
16 uc.
- 9 triángulos
de color gris de 0,5 uc cada uno: A(grises)= 0,5 uc x 9 = 4,5 uc.
- 5 triángulos
de color azul celeste de 1 uc cada uno: A(azules celestes)= 1 uc x 5 =
5 uc.
(nota:
el área de cada uno de los 5 triángulos celestes es 1 pues cualquiera de ellos
puede considerarse como la mitad de un rectángulo cuya área es 2, toda vez que
cada uno de esos rectángulos está formado por dos cuadrados unitarios y dado
que una diagonal de todo rectángulo lo divide en dos triángulos rectángulos
congruentes, es decir, geométricamente iguales.
- 1
triángulo verde de 1,5 uc cada uno: A(verde)= 1,5 uc x 1 = 1,5 uc.
(nota:
el área del triángulo verde es 1,5 pues este triángulo puede considerarse como
la mitad de un rectángulo cuya área es 3, por la misma razón que el caso
anterior).
- 1 triángulo
azul oscuro. Obtenemos su área por complementación parcial. Partimos
del rectángulo donde está contenido el triángulo de área 6 uc (2x3), y le
restamos las áreas de los triángulos de 3 uc (la mitad del área total del
rectángulo) y 1,5 uc (la mitad del área del rectángulo de 3x1 uc): A(azul
oscuro)=6 uc – 3 uc – 1,5 uc = 1,5 uc.
- 1 triángulo blanco del cuello del pato.
Obtenemos su área por complementación parcial. Partimos del rectángulo donde
está contenido el triángulo de área 6 uc (2x3), y vemos que el área de nuestro
triángulo blanco del cuello del pato es la mitad del área de dicho rectángulo:
A(blanco cuello) = 6 uc – 3 uc = 3 uc.
- 1 triángulo blanco de la cola del pato.
Obtenemos su área por complementación parcial. Partimos del cuadrado donde está
contenido el triángulo de área 4 uc (2x2), y restamos el área del triángulo
cuya área es la mitad del área del cuadrado, por lo tanto tiene 2 uc, y le
restamos también el área del triángulo de 1 uc: A(blanco cola) = 4 uc – 2 uc –
1 uc = 1 uc.
El área
total del pato del geoplano será la suma del área de todas las figuras
geométricas halladas:
A(total) = A(amarillos)
+ A(grises) + A(azules celestes) + A(verde) + A(azul oscuro) + A(blanco cuello)
+ A(blanco cola) = 16 + 4,5 + 5 + 1,5 + 1,5 + 3 + 1 = 32,5 uc.
b) Calcula su área mediante el método de
complementación (inclusión del polígono en un rectángulo o cuadrado, que tenga
la menor área posible, y la posterior sustracción al área de dicho rectángulo o
cuadrado del área de la “figura complementaria”, es decir, la figura exterior
al polígono dado, pero interior al rectángulo. Nótese que para la obtención del
área de dicha “figura complementaria” hay que subdividirla previamente, de
forma conveniente, en figuras elementales (3 puntos).
Este
método puede usarse de la siguiente forma: inscribimos toda la figura en un
cuadrado de área 9x9 = 81 uc, y subdividimos la superficie exterior al polígono
“pato” cuya área queremos determinar en figuras elementales. A continuación,
calculamos el valor de esa área y lo restamos al área del cuadrado en el que
hemos inscrito el polígono pato. La diferencia de áreas nos proporcionará el
área buscada.
A
continuación, mostramos la subdivisión que hemos realizado:
El área
del cuadrado exterior es: 9 filas de 9 ul en cada fila = 81 uc, por lo que el
área del cuadrado exterior es 81 uc.
Ahora
hallamos el área de las figuras internas al cuadrado y externas a la figura del
pato siguiendo los mismos criterios que en el método de adición:
- 26
cuadrados amarillos de 1 uc cada uno: A(amarillos) = 26 x 1uc = 26 uc.
- 11
triángulos grises de 0,5 uc cada uno: A(grises) = 11 x 0,5uc = 5,5 uc.
- 6
triángulos verdes de 1 uc cada uno: A(verdes) = 6 x 1uc = 6 uc.
- El área de la figura azul celeste del cuello
del pato la vamos a calcular, a su vez y debido a su complejidad, por
complementación. La mostramos aparte, a continuación:
La
insertamos en un rectángulo de 3x2 uc = 6 uc. Le restamos el triángulo
rectángulo de área 3 uc. y el cuadrado de área 1 uc, y obtenemos: A(azul
celeste) = 6 uc – 3 uc – 1 uc = 2 uc.
- El área de la figura azul oscuro del lomo del
pato la vamos a calcular, a su vez y debido a su complejidad, por
complementación. La mostramos aparte, a continuación:
La
insertamos en un rectángulo de 4x3 uc = 12 uc. Le restamos el triángulo
rectángulo de área 1.5 uc. y le restamos el área del triángulo blanco; para
calcularla insertamos, a su vez, dicho triángulo en un rectángulo de área 6 uc,
y le restamos 1,5 uc y 3 uc. por lo que el triángulo blanco tiene un área de 6
– 1,5 – 3 = 1,5 uc, que es el área a restar al primer rectángulo de 12 uc, y
obtenemos: A(azul oscuro) = 12 uc – 1,5 uc – 1,5 uc = 9 uc.
Por lo
que ya podemos calcular el área de la figura pato:
A(pato) = A(total) – A(amarillos) – A(grises) – A(verdes) – A(azul
celeste) – A(azul oscuro)
A(pato)= 81 – 26 – 5,5 – 6 – 2 – 9 = 32,5 uc.
c) Comprueba el área obtenida en los
apartados anteriores mediante la Fórmula de Pick.
El teorema de Pick es
una fórmula que relaciona el área de un polígono
simple cuyos vértices tienen coordenadas enteras con el número de puntos en su interior y en su
borde que tengan también coordenadas enteras.
La
Fórmula de Pick es:
Es
decir, el área de la figura de nuestro geoplano es igual al número de puntos
internos, más el número de puntos de su borde dividido entre dos, menos uno.
A(total)=
d) Halla tanto el valor exacto de su
perímetro (suma simplificada de números reales), como su valor aproximado
(expresión decimal con aproximación hasta las milésimas).
Para el cálculo del
perímetro de la figura “pato” debemos obtener la medida de cada uno de los
segmentos que lo limitan. La medida de los segmentos horizontales o verticales
se obtiene de forma inmediata. Para hallar la medida de los segmentos oblicuos
vamos a aplicar el Teorema de Pitágoras en cada uno de los triángulos
rectángulos que hemos coloreado como apoyo para esta actividad, tal y como se
muestra en el siguiente dibujo:
De esta
manera, si comenzamos por el vértice del pico de la figura “pato” y recorremos
el contorno en el sentido de las agujas del reloj, el perímetro vendrá dado por
la suma que sigue:
Y ya
hemos terminado el ejercicio. Existen muchos problemas de este tipo con varias
formas geométricas (pez, pájaro, cocodrilo, etc.)… He elegido éste del pato, en
concreto, porque aparecen casi todas las dificultades que los problemas de este
tipo os pueden plantear, no obstante, si necesitáis ayuda con cualquier otra
figura en el PPTC o tenéis alguna duda sobre este ejercicio, sólo tenéis que
plantearla con un comentario y os ayudaremos gustosamente.
Nos hemos puesto y lo hemos conseguido…
demostrando que todo se puede conseguir en esta vida… ¡¡¡es cuestión sólo de
ponerse!!! ¡¡¡Hasta la próxima!!!
